题目

给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。​
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

• 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
• 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

示例 1

输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

解题思路

首先我们遇到这种题目常用的方法是将【买入】和【卖出】分开进行考虑，【买入】为负收益，而【卖出】为正收益。在初入股市时，你只有【买入】的权利，只能获得负效益。而当你【买入】之后，你就有了【卖出】的权利，可以获得正收益。显然，我们需要尽可能的降低负收益而提高正收益，因此我们的目标总是将收益值最大化。因此，我们可以使用动态规划的方法，维护在每一天结束后可以获得的【累计最大收益】，并以此进行状态转移，得到最终的答案。其实前面关于股票的算法题目已经做了 4 题了，加上本题共 5 题，他们都可以用 动态规划 解决掉，前面都是大致说了几句，我准备在本题 细细说下动态规划。

动态规划

思路与算法

我们用 f[i] 表示 第 i 天结束之后的【累计最大收益】。根据题目描述，由于我们最多只能同时买入（持有）一支股票，并且卖出股票后有冷冻期的限制，因此我们会有三种不同的状态：

• 我们目前持有一支股票，对应的【累计最大收益】记为 fi
• 我们目前不持有任何股票，并且处于冷冻期中，对应的【累计最大收益】记为 fi
• 我们目前不持有任何股票，并且不处于冷冻期中，对应的【累计最大收益】记为 fi

如何进行状态转移呢？在第 i 天时，我们可以在不违反规则的前提下进行【买入】或者【卖出】操作，此时第 i 天的状态会从第 i - 1 天的状态转移而来；我们也可以不进行任何操作，此时第 i 天的状态就等同于第 i - 1 天的状态。那么我们分别对着三种状态进行分析：

• 对于 fi，我们目前持有的这一支股票可以是在第 i - 1 天就已经持有的，对于的状态为 fi-1；或者是第 i 天买入的，那么第 i - 1 天就不能持有股票并且不处于冷冻期中，对于的状态为 fi-1 加上买入股票的负收益 prices[i]。因此状态转移方程为：f[i][0]=max(f[i−1][0],f[i−1][2]−prices[i])
• 对于 fi，我们在第 i 天结束之后处于冷冻期的原因是在当天卖出了股票，那么说明在第 i - 1 天时我们必须持有一支股票，对于的状态为 fi-1 加上卖出股票的正收益 prices[i]。因此状态转移方程为：f[i][1]=f[i−1][0]+prices[i]
• 对于 fi，我们在第 i 天结束之后不持有任何股票并且不处于冷冻期，说明当天没有进行任何操作，即第 i - 1 天时不持有任何股票：如果处于冷冻期，对于的状态为 fi-1；如果不处于冷冻期，对应的状态为 fi−1。因此状态转移方程为：f[i][2]=max(f[i−1][1],f[i−1][2])

这样我们就得到了所有的状态转移方程。如果一共有 n 天，那么最终的答案即为：max(f[n−1][0],f[n−1][1],f[n−1][2])

注意到如果在最后一天（第 n - 1天）结束之后，手上仍然持有股票，那么显然是没有任何意义的。因此更加准确地，最终的答案实际上是 fn−1 和 fn-1fn−1 中的较大值，即：max(f[n−1][1],f[n−1][2])

细节

我们可以将第 0 天的情况作为动态规划中的边界条件：

⎧ f[0][0] = −prices[0]
⎪
⎨ f[0][1] = 0
⎪
⎩ f[0][2] = 0

​
在第 0 天时，如果持有股票，那么只能是在第 0 天买入的，对应负收益 −prices[0]；如果不持有股票，那么收益为零。注意到第 0 天实际上是不存在处于冷冻期的情况的，但我们仍然可以将对应的状态 f0 置为零。这样我们就可以从第 1 天开始，根据上面的状态转移方程进行动态规划，知道计算出第 n - 1 天的结果。

代码

func maxProfit(prices []int) int {
    if len(prices) == 0 {
        return 0
    }
    n := len(prices)
    // f[i][0]: 手上持有股票的最大收益
    // f[i][1]: 手上不持有股票，并且处于冷冻期中的累计最大收益
    // f[i][2]: 手上不持有股票，并且不在冷冻期中的累计最大收益
    f := make([][3]int, n)
    f[0][0] = -prices[0]
    for i := 1; i < n; i++ {
        f[i][0] = max(f[i-1][0], f[i-1][2] - prices[i])
        f[i][1] = f[i-1][0] + prices[i]
        f[i][2] = max(f[i-1][1], f[i-1][2]) 
    }
    return max(f[n-1][1], f[n-1][2])
}

func max(x, y int) int {
    if x > y {
        return x
    }
    return y
}

空间优化

注意到上面的状态转移方程中，fi 只与 fi−1 有关，而与 fi−2 及之前的所有状态都无关，因此我们不必存储这些无关的状态。也就是说，我们只需要将 fi−1，fi−1，fi−1 存放在三个变量中，通过它们计算出 fi，fi，fi 并存回对应的变量，以便于第 i + 1 天的状态转移即可。

func maxProfit(prices []int) int {
    if len(prices) == 0 {
        return 0
    }
    n := len(prices)
    f0, f1, f2 := -prices[0], 0, 0
    for i := 1; i < n; i++ {
        newf0 := max(f0, f2 - prices[i])
        newf1 := f0 + prices[i]
        newf2 := max(f1, f2)
        f0, f1, f2 = newf0, newf1, newf2
    }
    return max(f1, f2)
}

func max(x, y int) int {
    if x > y {
        return x
    }
    return y
}